Задания по математике 11 класс

1. Докажите равенство:

1

Ответ: Так как в обеих частях предполагаемого равенства стоят углы из первой четверти, достаточно доказать равенство их тангенсов. По формуле для тангенса суммы имеем:

2

 

2. Пусть p1, p2, p3, …, pn — попарно различные простые числа. Докажите, что

3

Ответ: 4Следовательно при n > 2 (при n ≤ 2 утверждение следует из случая n > 2)

5

 

3. Докажите, что уравнение 20x 3 − 12y 2 = 2012 не имеет решений в целых числах x и y.

Ответ: Уравнение не решается по mod 9. Рассуждать можно так. После преобразований получим
5(x 3 − 1) = 3(y2 + 1) + 5 · 99. Правая часть делится на 3, но не делится на 9. Следовательно x 3 − 1 должно делится на 3. Значит x = 3k + 1 (если x = 3k − 1, то x 3 − 1 = (3k − 1) 3 − 1 = 3m − 2 не делится на 3). Но (3k + 1) 3 − 1 = 27k 3 + 27k 2 + 9k делится на 9.

 

4. На сторонах AB, BC и CA равностороннего треугольника ABC взяты соответственно точки C1, A1 и B1 так, что треугольник A1B1 C1 — тупоугольный. Докажите, что площадь треугольника A1B1 C1 меньше половины площади треугольника ABC.

Ответ: Пусть тупой угол — B1 , и |AB1| ≤ |B1C|, остальные случаи рассматриваются аналогично.
Обозначим через h1 , h2 , h3 расстояния до прямой C1B1 от точек B, A1, C соответственно. Так как точки B, A1, C лежат на одной прямой, и точка A1 расположена между B и C, с  необходимостью выполняется хотя бы одно из условий: 1) h1 ≥ h2 или 2) h3 ≥ h2.
Рассмотрим первый случай (h1 ≥ h2 ). Тогда

6

и хотя бы одно из неравенств строгое.

Во втором случае S∆A1B1C1 ≤ S∆CB1C1 . Выберем на AC точки H и B2 так, чтобы было C1H⊥AC и C1B2 параллельны BC. Так как ∠C1B1C тупой (он не меньше, чем ∠C1B1A1 ), то ∆CC1B1 ⊂ ∆CC1H и 

7

 

5. Четыре шара единичного радиуса попарно касаются друг друга. Сфера S касается каждого из этих шаров. Найдите радиус сферы S.

Ответ: Обозначим центры единичных шаров O1, O2, O3, O4, а центр сферы S через O. Тетраэдр O1, O2, O3, Oправильный с ребром 2, радиус сферы S1, описанной около этого тетраэдра равен √6/2 . Возможны два варианта: все шары располагаются снаружи сферы S или все они лежат внутри сферы S. В первом случае радиус сферы S на 1 меньше радиуса сферы S1, а во втором на 1 больше. Ответ: √6/2 ± 1.

Поделиться:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*