Задания по математике 8 класс
1. Вставьте вместо букв цифры так, чтобы получилось верное равенство:
ЕЛЬ+ЕЛЬ+ЕЛЬ+ЕЛЬ=ЛЕС.
Одинаковым буквам должны соответствовать одинаковые цифры, а разным буквам — разные цифры. Постарайтесь найти все возможные решения ребуса.
Ответ: Ребус имеет 2 решения: Е=1, Л=7, Ь=8, С=2, и Е=1, Л=7, Ь=9, С=6. Ясно, что Е800, и ЕЛЬ не меньше 280, тогда сумма елей четырехзначна. Значит Е=1. Далее, из 400+40Л 40>4ЕЛЬ=ЛЕС≥100Л+10 получаем Л≤7. Аналогично из 400+40Л≤4ЕЛЬ=ЛЕС<100Л+10+10 получаем Л≥7, т.е. Л=7. Далее небольшой перебор.
2. Таня делает шаги на 62% короче и на 62% чаще, чем Петя. Кроме того, Таня находится в пути на 62% дольше, чем Петя. Кто пройдет больший путь: Петя или Таня?
Ответ: Пусть a — длина шага Пети, а b — количество сделанных им шагов (возможно, нецелое). Тогда Петя прошел путь S1 = ab, а Таня прошла путь S2 = (1 − 0, 62)a · (1 + 0, 62)2 b = 0, 997272ab < S1. Ответ: Петя прошел больший путь, чем Таня.
3. На сколько частей могут разделить плоскость 4 прямые?
Ответ: Небольшой перебор показывает, что количество частей может быть: 5 (все четыре прямые параллельны), 8 (три прямые параллельны, или все четыре пересекаются в одной точке), 9 (две параллельные пары, или две параллельны и три пересекаются в одной точке), 10 (только две параллельны и никакие три не проходят через одну точку, или три пересекаются в одной точке и нет параллельных) и 11 (нет параллельных и нет трех, пересекающихся в одной точке). Ответ: 5, 8, 9, 10, 11.
4. Витя выписывает на доске цифры следующим образом. Сначала он пишет любую ненулевую цифру. Затем приписывает к написанной цифре справа цифру так, чтобы получилось двузначное число, делящееся на 2, и т.д. На n-ом шаге он приписывает к написанным цифрам справа цифру так, чтобы получилось n-значное число, делящееся на n, или, если это выполнить невозможно, больше ничего не пишет. Какое наименьшее натуральное число могло получиться на доске, если известно, что Витя закончил выписывать цифры.
Ответ: Ясно, что число будет как минимум 10-значное, так как для любого n ≤ 10 в каждом десятке есть хотя бы одно число, делящееся на n, и на соответствующем шаге Витя может получить это число, выбирая подходящую цифру. Попробуем найти 10-значное число, которое мог построить Витя, и к которому нельзя подписать цифру так, чтобы получившееся 11-значное число делилось на 11. Для этого удобно пользоваться признаком делимости на 11. Будем также пытаться минимизировать это число, выбирая на каждом шаге по возможности наименьшую цифру. Небольшим перебором бракуем возможные начала: 1020005640, 1020061620, 1020068010, 1020068820. Следующее число 1020544020 невозможно продолжить до 11-значного, делящегося на 11. Ответ: 1020544020.
5. Докажите, что сумма цифр числа, являющегося точным кубом, не может равняться 2012.
Ответ: Воспользуемся тем фактом, что сумма цифр числа дает тот же остаток при делении на 9, что и само число (результат легко получается из известного признака делимости на 9). Пусть n = x³. Рассмотрим последовательно x = 3k, x = 3k + 1, x = 3k − 1. Тогда n равно соответственно 27k³ , 27k³ + 27k² + 9k + 1, 27k³ − 27k² + 9k − 1, и остаток от деления на 9 у числа n может равняться 0, 1 или −1. Но 2012 дает остаток 5, и не может быть суммой цифр числа n.