Олимпиадные задания по математике для 9 класса

1. Для нумерации домов в поселке потребовалась 2007 металлических цифр (двузначные, трехзначные и т.д. номера составлены из отдельных. Сколько домов в поселке?

Решение:  Сначала выясним, какие числа использовались в нумерации. Однозначных чисел 9 (от 1 до 9), двузначных — 90 (от 10 до 99). Вместе они содержат 9*1+90*2=189 цифр, что недостаточно. Трехзначных чисел 900 (от 100 до 999), и они содержат 900*3=2700 цифр, что уже больше, чем нужно. Значит, будут использованы все однозначные и двузначные числа, трехзначные числа (не все),а четырехзначные — нет.
Из 2007 цифр на трехзначные числа приходится 2007-189=1818 цифр, значит, трехзначных чисел будет 1818:3=606. Всего получаем 9+90+606=705 домов.
Ответ: 705 домов.

2. В треугольнике ABC: AB=2,∠A=60º, ∠B=70º . На стороне AC взята точка D такая, что AD=1. Найдите углы треугольника DBC .
Ответ: 90º; 50º; 40º.

3. Найдите острый угол ромба, у которого одна диагональ равна 20, а высота равна 10.
Ответ: 60°