Олимпиадные задания по математике для 10 класса

1. Постройте эскиз графика функции: математика17

Решение: математика18

математика19

2. При каком значении параметра a значение выражения x1² + x2² будет наименьшим, если x1 и x2 - корни уравнения x²+ax+a-2=0?

Решение: 

По т. Виета: x+x=−a, xx=a2x²+x²=(x+x)² — 2х₁х₂ =a²2a+4=f(a).Нам надо найти аmin для функции f(a), при котором уравнение  x²+ax+a2=0 имеет корни, т.е. D=a²4a+8>0, но это верно при всех aR, поэтому просто ищем минимум f(a).f(a)=(a1)²+33amin=1.

3. Решите уравнение x2 -2х + у2 – 10 у + 26 = 0

Ответ: (1;5)

4. Решите уравнение (х — 1) (х — 3) ( х – 5) (х – 7) = 945

Ответ: -1; 9

5. Найдите периметр равнобедренной трапеции, у которой меньшее основание равно 8, острый угол 45° и высота равна 2 √2.

Ответ: 4 √2 + 2

6. В одном магазине молоко подешевело на 40%, а в другом – сначала на 20%, а затем еще на 25%. Первоначальная цена на молоко в каждом из магазинов была одна и та же. Где молоко стало стоить дешевле?

Решение: Пусть х рублей первоначальная цена молока. В первом магазине цена уменьшилась на 40%, то есть составила 0,6х рублей. Во втором магазине после первого понижения цена была 0,8х рублей, а после второго — 0,75(0,8х)=0,6х. Таким образом, молоко в каждом из магазинов вновь стоит одинаково.

Поделиться:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*