Олимпиадные задания по математике для 11 класса

1. Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат.

Решение: Пусть это 4 последовательных числа: n, n + 1, n + 2, n  + 3. Тогда n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2  + 3n)2 + 2(n2  + 3n) + 1 = (n2  + 3n + 1)2.

2. Решите уравнение математика20

Решение: Перенесем в левую часть  и прибавим, и вычтем по cos8x. В результате полученное уравнение можно преобразовать к виду  (sin4x – cos4x)2 + cos2x(1 – cos6x) = 0, которое равносильно следующей системе: математика21 Решая второе уравнение и подставляя его решения в первое уравнение, в результате получим решение исходного уравнения математика22. Ответ: математика23

3. Решите уравнение математика24

Решение: Прежде всего заметим, что все корни уравнения если они существуют, удовлетворяют неравенствам x²-4 ≥ 0 и 12 — 3x² ≥ 0 . Так как второе неравенство равносильно неравенству x²-4 ≤ 0  , то оба неравенства выполняются лишь при условии x²-4 = 0. Это последнее уравнение имеет два корня: x1 = 2 и x2 = -2. Итак, если исходное уравнение имеет корни, то их следует искать среди чисел 2 и -2. Проверка показывает, что 2 является корнем исходного уравнения, а число -2 – нет. Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

4. Решите уравнение:
1 + (2: (1 + (1005: (1 + (1007 : (1 + ( 2 : (1 + х))))))))= 2013

Ответ: х =-2

5. Найдите периметр равнобедренной трапеции, у которой меньшее основание равно 8, острый угол 45° и высота равна 2 √2.

Ответ: 4 √2 + 2

6. Диагональ МP параллелограмма MKPD равна 24 см. А- середина стороны MK — соединена с вершиной Д. Найдите отрезки, на которые делится MP отрезком DА.

Ответ: 16:8

Поделиться:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*