Задания по математике 7 класс

1. Вставьте вместо букв цифры так, чтобы получилось верное равенство:

ДУБОК+ДУБОК+ДУБОК+ДУБОК+ДУБОК+ДУБОК+ДУБОК+ДУБОК+ДУБОК=ЛЕСОК.
Одинаковым буквам должны соответствовать одинаковые цифры, а разным буквам — разные цифры. Постарайтесь найти все возможные решения ребуса.

Ответ: Ребус имеет 2 решения: Д=1, У=0, Б=4, О=2, К=5, Л=9, Е=3, С=8, и Д=1, У=0, Б=8, О=2, К=5, Л=9, Е=7, С=4 Легко определить Д, У и Л (9 пятизначных чисел дают пятизначное, значит ДУБОК — маленький, а ЛЕСОК — большой). Ясно также, что ОК=25. Остальное небольшим перебором.

2. На сколько частей могут разделить плоскость три прямые? Укажите все возможные варианты.

Ответ: Небольшой перебор показывает, что количество частей может быть: 4 (все прямые параллельны), 6 (две прямые параллельны, или все три пересекаются в одной точки) или 7 (нет параллельных и нет общей для всех трех прямых точки). Ответ: 4, 6, 7.

3. Найдите все четверки (x, y, z, t), состоящие из простых чисел, удовлетворяющих уравнению:

xyz + 1 = t²

Ответ: t не может быть равно 2, так как t² ≥ 2 · 2 · 2 + 1 = 9. Следовательно, t — нечетное. Но тогда t² −1 = (t−1)(t+1) — произведение двух подряд идущих четных чисел, и, следовательно, xyz = t² −1 делится на 2 · 4 = 8. Ответ: x = y = z = 2, t = 3.

4. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов в 20 часов 12 минут?

Ответ: 12 минут — это пятая часть часа. Следовательно, угол между минутной стрелкой и направлением на 12 часов («вверх») в рассматриваемый момент времени равен 360◦ /5 = 72◦ . Угол между часовой стрелкой и направлением «вверх» равен (8 + 1/5) · 360◦ /12 = 246◦ . Искомый угол: 246◦ − 72◦ = 174◦ . Ответ: 174◦ .

5. 2012 конфеток «Чудесная алгебра» весят x кг, а 2013 конфеток «Волшебная геометрия» весят y кг. За победу в олимпиаде по алгебре Таня получила от жюри 2012 конфеток «Чудесная алгебра» и одну конфетку «Волшебная геометрия». За победу в олимпиаде по геометрии Петя получил от жюри 2013 конфеток «Волшебная геометрия» и одну конфетку «Чудесная алгебра». Оказалось, что призы Тани и Пети имеют одинаковый вес. Что больше: x или y?

Ответ: Пусть Таня съест из своего набора две разные конфетки, и так же поступит Петя. У Тани останется 2011 конфеток «Чудесная алгебра», а у Пети 2012 конфеток «Волшебная геометрия», вес же останется равный. Из этого ясно также, что конфетка «Чудесная алгебра» тяжелее конфетки «Волшебная геометрия». Добавим Тане «Чудесную алгебру», а Пете «Волшебную геометрию». Теперь у Тани набор тяжелее, чем у Пети, при этом у нее x кг, а у Пети y кг. Ответ: x > y.