Задания по математике 10 класс

1. Решите уравнение:

x² + 2x + cos(2πx) + 3 sin²(πx) = 0.

Ответ: Уравнение равносильно следующему:
(x + 1)² + sin² (πx) = 0. x = −1.

2. Пусть a² + b² = a⁴ + b⁴ . Докажите, что a + b ≤ 2.

Ответ: Из неравенства (a² − 1)² + (b² − 1)² ≥ 0 получим 2(a² + b² ) ≤ a⁴ + b⁴ + 2 = a² + b²+2,

и, следовательно, a² + b² ≤ 2. Поэтому 2(a + b) ≤ a² + b² + 2 ≤ 2 + 2 и a + b ≤ 2.

3. Докажите, что для любого натурального m найдется натуральное n такое, что n ⁿ + 1 делится на m ^m + 1.

Ответ: Для нечетного k справедливо разложение x^k + 1 = (x + 1)(x^k−1 − x^k−2 + x^k−3 − · · · − x + 1). Поэтому при натуральном x и нечетном k число x^k + 1 делится на x + 1. Положим n = 2m^m + 1, получим, что nⁿ + 1 делится на n + 1 = 2m^m + 2 = 2(m^m + 1).

4. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) точка A´, симметричная вершине A относительно стороны BC, лежит на прямой, проходящей через середины боковых сторон треугольника.Найдите углы треугольника ABC.

Ответ: Обозначим через M середину BC, а через N — точку пересечения BC и AA´.Тогда ΔNMA´ равен ΔNCA. Действительно, они прямоугольные (AA´ ⊥ BC), ∠NMA´= ∠NCA (MA´ параллельны CA) и NA´ = NA. Поэтому AMA´ C — параллелограмм, а так как его диагонали перпендикулярны, то AMA´C ромб. Следовательно ΔMAC равнобедренный и подобный ΔABC (∠C общий). Пусть AC=2y, MC = x. Из подобия 2y/x = 2x/2y и y = x/√2. Следовательно cos ∠A = cos ∠C = y/2x = √2/4, cos ∠B = 1 − 2 cos ² ∠A = 3/4. Ответ: arccos 1/2√2 , arccos 1/2√2 , arccos 3/4 .

5. С куба, состоящего из n × n × n одинаковых кубиков, сняли все видимые снаружи кубики.

а) Можно ли при некотором n > 1 используя все снятые кубики составить сплошной квадрат толщиной в один кубик?
б) При каких n количество снятых кубиков будет меньше оставшихся?

Ответ: Количество снятых кубиков n³ −(n−2)³. В случае а) получаем уравнение: n³ −(n−2)³ =m², или, после преобразования, 6n² − 12n + 9 = m² + 1. Но m² + 1 не может делиться на 3 (можно подставить m = 3k ± 1). В случае б) получаем неравенство (n − 2)^{3 >} n³ /2, или (1 − 2/n)³ > 1/2. Функция f (n) = (1 − 2/n)³ строго возрастает, поэтому достаточно поперебирать n. Нужное неравенство выполняется при n ≥ 10. Ответ: а) нет; б) n ≥ 10.