Задания по математике 11 класс

1. Докажите равенство:

Ответ: Так как в обеих частях предполагаемого равенства стоят углы из первой четверти, достаточно доказать равенство их тангенсов. По формуле для тангенса суммы имеем:

2. Пусть p₁, p₂, p₃, …, p_n — попарно различные простые числа. Докажите, что

Ответ: Следовательно при n > 2 (при n ≤ 2 утверждение следует из случая n > 2)

3. Докажите, что уравнение 20x ³ − 12y ² = 2012 не имеет решений в целых числах x и y.

Ответ: Уравнение не решается по mod 9. Рассуждать можно так. После преобразований получим
5(x ³ − 1) = 3(y² + 1) + 5 · 99. Правая часть делится на 3, но не делится на 9. Следовательно x ³ − 1 должно делится на 3. Значит x = 3k + 1 (если x = 3k − 1, то x ³ − 1 = (3k − 1) ³ − 1 = 3m − 2 не делится на 3). Но (3k + 1) ³ − 1 = 27k ³ + 27k ² + 9k делится на 9.

4. На сторонах AB, BC и CA равностороннего треугольника ABC взяты соответственно точки C_1, A₁ и B₁ так, что треугольник A₁B₁ C₁ — тупоугольный. Докажите, что площадь треугольника A₁B₁ C₁ меньше половины площади треугольника ABC.

Ответ: Пусть тупой угол — B₁ , и |AB₁| ≤ |B₁C|, остальные случаи рассматриваются аналогично.
Обозначим через h₁ , h₂ , h₃ расстояния до прямой C₁B₁ от точек B, A₁, C соответственно. Так как точки B, A₁, C лежат на одной прямой, и точка A₁ расположена между B и C, с  необходимостью выполняется хотя бы одно из условий: 1) h₁ ≥ h₂ или 2) h₃ ≥ h₂.
Рассмотрим первый случай (h₁ ≥ h₂ ). Тогда

и хотя бы одно из неравенств строгое.

Во втором случае S_∆A1B1C1 ≤ S_∆CB1C1 . Выберем на AC точки H и B₂ так, чтобы было C₁H⊥AC и C₁B₂ параллельны BC. Так как ∠C₁B₁C тупой (он не меньше, чем ∠C₁B₁A₁ ), то ∆CC₁B₁ ⊂ ∆CC₁H и 

5. Четыре шара единичного радиуса попарно касаются друг друга. Сфера S касается каждого из этих шаров. Найдите радиус сферы S.

Ответ: Обозначим центры единичных шаров O₁, O₂, O₃, O₄, а центр сферы S через O. Тетраэдр O₁, O₂, O₃, O₄ правильный с ребром 2, радиус сферы S₁, описанной около этого тетраэдра равен √6/2 . Возможны два варианта: все шары располагаются снаружи сферы S или все они лежат внутри сферы S. В первом случае радиус сферы S на 1 меньше радиуса сферы S₁, а во втором на 1 больше. Ответ: √6/2 ± 1.