Задания по математике 9 класс

1. Сумма нескольких нечетных чисел делится на 240. Докажите, что сумма их пятых степеней также делится на 240.

Ответ: Для нечетного n рассмотрим разность

Тогда (n-1)(n+1) — произведение двух последовательных четных чисел, делится на 8. n²+ 1 четно, делится на 2. Следовательно n⁵ − n делится на 16. Далее, n(n − 1)(n + 1) — произведение трех последовательных натуральных чисел, делится на 3. Наконец, рассматривая возможные остатки n при делении на 5, убеждаемся, что n⁵ − n делится и на 5. В итоге для любого нечетного n имеем: n⁵ − n делится на 16 · 3 · 5 = 240. Поэтому  делится на 240.

2. Докажите, что для длин сторон a, b и c произвольного прямоугольного треугольника выполняется равенство

2(a⁸ + b⁸ + c⁸ ) = (a⁴ + b² + c⁴ )²

Ответ: Пусть c — длина гипотенузы. После возведения правой части доказываемого равенства в квадрат получим  или 

Последнее равносильно

(a⁴ + b⁴ − c⁴ )² = 4a⁴ b⁴ , или  (a⁴ + b⁴ − c⁴ + 2a² b² )(a⁴ + b⁴ − c⁴ − 2a² b² ) = 0.

Первая скобка в последнем выражении преобразовывается к виду

((a² + b² )² − c⁴ ) = (a² + b² − c² )(a² + b² + c²),

что равно нулю в силу теоремы Пифагора: a² + b² = c² .

3. Решите систему уравнений:

Ответ: Складывая все три равенства получим:

x²+y+y²+z+1+z+²+2x=z+xy+2x+yz+1+y+xz,

или, после преобразования,

(x − y)² + (y − z)² + (z − x)² = 0,

откуда x = y = z. Теперь второе уравнение системы дает x = 1.
Ответ: x = y = z = 1.

4. Три круга единичного радиуса попарно касаются друг друга. Окружность S касается каждого из этих кругов. Найдите радиус окружности S.
Ответ: Обозначим центры единичных кругов O₁, O₂, O₃ , а центр сферы S через O. Треугольник O₁,O₂,O₃ правильный со стороной 2, радиус окружности S₁, описанной около этого треугольника равен 2/√3.
Возможны два варианта: все круги располагаются снаружи окружности S или все они лежат внутри окружности S. В первом случае радиус окружности S на 1 меньше радиуса окружности S₁, а во втором на 1 больше. Ответ: 2/√3 = ±1

5. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску черного и белого слона так, чтобы они не били друг друга.

Примечание. Шахматный слон бьет по диагонали на любое расстояние. Шахматная доска имеет размер 8 × 8, ее клетки (поля) нумеруются по правилу «морского боя»: a1, a2, . . . , a8, b1, . . . , h8. Так, если слон стоит на клетке b3, то он бьет следующие поля: a2, c4, d5, e6, f 7, g8, a4, c2, d1.

Ответ: Всего способов поставить двух различающихся слонов на доску 64 · 63 = 4032. Подсчитаем теперь количество плохих способов, т.е. тех, при которых слоны бьют друг друга. Для этого они должны стоять на одной диагонали. Если диагональ имеет длину k, то на нее можно поставить двух слонов k · (k − 1) способами. Перебирая все диагонали, получим всего плохих способов

Значит, нужных способов 4032 − 560 = 3472.
Ответ: 3472