Математика. 7 класс

Задача 1. Взяли квадрат клетчатой бумаги размером 8 × 8, отрезали от него две клетки (левую нижнюю и правую верхнюю). Можно ли полученную фигуру полностью покрыть «доминошками» — прямоуголниками 1 × 2.

Решение. Рассмотрим шахматную доску 8 × 8 уберем две черные клетки. Каждая доминошка покрывает одну белую и одну черную клетку. Фигура, которую можно покрыть доминошками, должна содержать белых и черных клеток поровну. В фигуре рассматриваемой в задаче белых клеток больше, чем черных. Ответ. Нельзя.

Задача 2. В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1 кг за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей?

Решение. При первом взвешивании в одну из чашек весов кладем гирю и все гвозди раскладываем по чашкам так, чтобы установолось равновесие. Получим 13 и 12 кг гвоздей. Первую кучку откладываем, а остальные гвозди делим пополам, взвешивая без гири: 12 = 6 + 6. Получили искомое количество гвоздей: 19 = 13 + 6.

Задача 3. Написав контрольную работу, ученики Володя, Саша и Петя сообщили дома:
Володя: «Я написал на 5».
Саша:«Я написал на 3».
Петя: «Я написал не на 5».
После проверки выяснилось, что один из мальчиков получил 3, другой 4, третий 5. Какую оценку получил каждый, если известно что из трех сделанных высказываний одно ложно, а два других истинны?

Ответ. Володя — 5; Петя — 3; Саша — 4.

Задача 4. Пусть S(N) — сумма цифр числа N. Найдите все N, для которых N +S(N ) = 2010.

Решение.
1000a + 100b + 10c + d + a + b + c + d = 2010,
1001a + 101b + 11c + 2d = 2010.
1 случай.
a = 1, 101b + 11c + 2d = 1009,
b = 9, 11c + 2d = 100,
c = 8, d = 6.
2 случай
a = 2, b = 0, c = 0, d = 4.
Ответ. 2004; 1986.

Задача 5. В группе 16 детей 7 родились в Самаре, 4 — в Новокуйбышевске, 3 — в Чапаевске и 2 — в Похвистнево. Сколькими способами можно выбрать 4 детей так, чтобы в группе были уроженцы всех городов.

Ответ. 2 · 3 · 4 · 7 = 168 способов.