Окружная математическая олимпиада. 11 класс

1. Пусть x, y – произвольные числа. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения _. Укажите некоторые значения переменных, при которых эти значения получаются. Ответ. 5 и -3. Решение. Наибольшее значение первого слагаемого равно 2, наибольшее значение второго слагаемого равно 3. Они получаются, например, при , .

Наименьшее значение первого слагаемого равно 0, наименьшее значение второго слагаемого равно -3. Они получаются, например, при .

2. Прямая пересекает параболу _ в точках А и В и ось абсцисс в точке С. Абсцисса точки А равна _, абсцисса точки С равна с. Найдите абсциссу точки В. Ответ.. Решение. Пусть уравнение прямой . Абсциссы точек пересечения прямой и параболы находятся из уравнения . По условию число является корнем этого квадратного уравнения. По теореме Виета второй корень удовлетворяет условиям , . Отсюда . Отсюда получаем ответ.
3. Докажите, что для любой функции _ существуют функции _ и _ такие, что

Сколько существует таких функций? Решение. Такими функциями являются, например, функции , . Задача имеет бесконечно много решений. Например, при задаем произвольную функцию , тогда определяется однозначно. При полагаем , а значение при этом может быть любым.

4. Четыре точки пространства не лежат в одной плоскости. Сколько существует плоскостей, каждая из которых равноудалена от этих точек? Ответ. 7. Решение. Все четыре точки не могут находиться по одну сторону от такой плоскости. Следовательно, часть точек лежит по одну сторону от плоскости, часть – по другую сторону. Такое разделение четырех точек возможно двумя способами: 1 + 3, 2 +2. Первый способ дает 4 варианта, второй способ – три варианта (А,В и С, Д; А, С и В, Д; А, Д и В ,С). Четыре данные точки являются вершинами тетраэдра. При первом способе искомыми плоскостями являются плоскости, проходящие через середины любых трех ребер тетраэдра. Таких плоскостей четыре. При втором способе искомая плоскость проходит параллельно двум скрещивающимся ребрам тетраэдра на одинаковом расстоянии от них.
5. Среди 101 монеты ровно 50 фальшивых. Массы всех настоящих монет одинаковы, масса каждой фальшивой монеты отличается от массы настоящей на один грамм (в большую или меньшую сторону). Как за одно взвешивание на чашечных весах со стрелкой, которая показывает разность весов на чашках, определить, является ли данная монета фальшивой? На каждую чашку весов можно класть любое количество монет. Решение. Отложим данную монету в сторону. Оставшиеся 100 монет поместим на чаши весов, по 50 монет на каждую чашу. Если весы буду в равновесии или же разность весов будет выражаться четным числом, то данная монета настоящая. Если же разность весов будет числом нечетным, то данная монета является фальшивой.
6. Если выписать все цифры от 0 до 9 по возрастанию и составить последовательность сумм двух соседних цифр (1, 3, 5,…, 17), то получится арифметическая прогрессия с разностью 2. Расположите цифры 0, 1, 2,…,9 в таком порядке, чтобы новая последовательность сумм двух соседних цифр была арифметической прогрессией с разностью 1. Найдите все решения. Ответ. Возможны два варианта: 0, 5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9 и 5, 0, 6, 1, 7, 2, 8, 3, 9, 4. Решение. Пусть — искомая последовательность. Для имеем , отсюда . Это означает, что числа ,, образуют арифметическую прогрессию с разностью 1. Это же верно и для чисел . Возможны всего два таких варианта: и , Отсюда приходим к указанному ответу.

Решение каждой задачи оценивается в 7 баллов.