Окружная математическая олимпиада. 10 класс

1. На рисунке схематично изображен график некоторой квадратичной функции _. Определите знак числа _, где D — дискриминант _.

2. Докажите, что для любых неотрицательных чисел _ и _

справедливо неравенство .

3. В равнобедренной трапеции ABCDбольшее основание AD равно 12, меньшее основание BC равно 6, высота равна 4. Что больше: угол BAC или угол CAD?
4. Пусть S – сумма цифр числа , Т – сумма цифр числа . Число делится на 9. Докажите, что число также делится на 9.
5. Даны пятьдесят различных натуральных чисел. Двадцать пять из них не превосходят 50. Остальные числа больше 50, но не больше 100. Известно, что никакие два из этих чисел не отличаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел.
6. Тридцать красных и тридцать синих точек разделили окружность на 60 равных дуг. Докажите, что прямоугольных треугольников с красными вершинами имеется столько же, сколько прямоугольных треугольников с синими вершинами.

Решение каждой задачи оценивается в 7 баллов.

 Решения задач для 10 класса.

1. Очевидно, что числа — положительные. Число с – это значение функции при , оно отрицательно. Абсцисса вершины — положительное число, следовательно, число b – отрицательно. Следовательно, произведение четырех чисел из условия задачи – больше нуля.
2. Пусть . Данное неравенство возведем в куб и получим: . Это неравенство равносильно такому: , или , или . Последнее неравенство верно для неотрицательных значений . Отсюда следует, что данное в условии задачи неравенство является верным.
3. Ответ. Угол BAC больше. Решение. Используя теорему Пифагора, находим, что длина боковой стороны трапеции равна 5. Достроим трапецию до равнобедренного треугольника, продолжив боковые стороны трапеции до пересечения. В этом треугольнике АС является медианой. Точка С делит сторону треугольника в отношении 1 : 1, считая от точки D. Биссектриса угла BAD делит сторону треугольника в отношении 12 : 10, считая от вершины D. Следовательно, биссектриса лежит выше медианы. Отсюда следует, что угол BAC больше половины угла BAD и, следовательно, угол BAC больше угла CAD.
4. Рассмотрим вспомогательное число . Это число получается приписыванием к числу справа нулей. Это число выберем столь большим, чтобы сумма получалась заменой нескольких последних нулей числа N цифрами числа b. Сумма цифр числа М равна, очевидно, , которая по условию делится на 9. Следовательно, и число М делится на 9. Теперь заметим, что . В правой части и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на 9. Следовательно, и разность делится на 9, ч.т.д.
5. Ответ. 2525. Решение. Уменьшим каждое число, которое больше 50, на 50. Получим 25 новых чисел. По условию ни одно новое число не равно ни одному из 25 чисел, которые не превосходят 50. Следовательно, новые числа вместе с ними дают 50 различных натуральных чисел, не превосходящих 50, то есть все числа от 1 до 50. Их сумма равна 51 х 25. Следовательно, сумма данных чисел равна 51 х 25 + 50 х 25 = 101 х 25 = 2525.
6. Рассмотрим пары диаметрально противоположных точек. Точки в каждой паре могут быть разного цвета (красная – синяя) или же одного цвета (красная – красная, синяя – синяя). Пар красного цвета столько же, сколько пар синего цвета. (Если допустить, что это не так, то количество точек одного цвета оказалось бы больше количества точек другого цвета). Каждая пара диаметрально противоположных одноцветных точек порождает 28 прямоугольных треугольников данного цвета. Отсюда следует утверждение задачи.