Ответы и рекомендации по проверке и оценке олимпиадных работ по математике за 2016 год

Рекомендации по проверке и оценке олимпиадных работ по математике:

1.Каждая задача, независимо от ее трудности, оценивается из 7 баллов, и каждая оценка должна быть целым числом, не меньшим 0 и не большим 7. При оценке решения по такой системе, как правило, сначала дается ответ на принципиальный вопрос: верное оно (хотя, может быть, и с различными недостатками) или неверное (хотя, может быть, и с существенным продвижением). В первом случае оценка должна быть не ниже 4, во втором – не выше 3.

2. Решение каждой задачи оценивается из 7 баллов. Школьное жюри не имеет права изменять цену задачи.

 3. Общие правила:

 4. Решение считается неполным в следующих случаях:

• если оно содержит основные идеи, но не доведено до конца;

• если оно при верной общей схеме рассуждений содержит пробелы, т.е. явно или скрыто опирается не недосказанные утверждения, которые нельзя счесть известными или очевидными;

• если оно требует разбора нескольких возможных случаев, большая часть которых разобрана, но некоторые, аналогичные разобранным, упущены.

 5. При оценке решений учитываются только:

• правильность решения;

• полнота;

• обоснованность;

• идейность;

• оригинальность.

Нельзя снижать оценку за «нерациональность» решения, за нетиповое оформление, исправления и т.п.

6. Следует отличать принципиальные (прежде всего – логические) ошибки от технических (например, вычислительные ошибки в не вычислительной задаче). Технические ошибки, неискажающие логику решения, следует приравнивать к недочетам. Алгебраические ошибки в вычислительной задаче часто являются принципиальными.

7. Умение хорошо догадываться на олимпиаде, должно цениться выше, чем умение хорошо изложить решение.

8. Если ученик владеет нужным обоснованием, но не может связано изложить его, роль обоснования могут в известной мере сыграть черновые записи и рисунки, раскрывающие ход мысли автора. Поэтому при проверке надо обязательно просматривать все черновики, причем недостатки, которых нет в черновике, не учитываются, зато учитывается все, что может улучшить чистовик.

Ответы, указания, решения. 7 класс

1. Ответ. 25 грибов.

Решение. Коля – 10 сыроежек + 3 белых; Ваня – 5 лисичек и 3 подберезовика, Петя – 4 лисички (меньше 5 и больше 3). Всего грибов: 13 + 8 + 4 = 25.

2. Ответ. 18 часов.

Решение. До полудня эта запись верна 9 раз (каждые четыре часа), после полудня также, сложив – получаем 18.

3. Ответ. Не могут.

Решение. Предположим, что у Пети пятирублевые монеты. Чтобы набрать 2006 рублей у него в копилке должны быть еще и рублевые, так как 2006 не делится на 5. Значит, только пятирублевых монет в копилке быть не может. Не может быть у кого-либо в копилке только рублевых монет, (их должно быть 2006, у другого будет перебор суммы). Значит у Коли в копилке двухрублевые монеты. Коля отдает 1003 монеты. Петя должен отдать такое же количество монет. Петя не сможет набрать 2006 рублей при помощи 1003 монет достоинством в 1 или 5 рублей, так как нечетное количество (1003) нечетных чисел (1,5) в сумме дают нечетное число, а 2006 – число четное.

250монет×5руб+753монет×1руб=2003 руб (1003 мон) –мало

251монета×5 руб+752монеты×1руб=2007 руб (1003 мон) – перебор.

4. Решение. При первом взвешивании на одну из чашек весов кладем гирю и все гвозди, раскладываем по чашкам так, чтобы установилось равновесие. Получим 13 и 12 кг гвоздей. Первую кучку откладываем, а остальные гвозди делим пополам, взвешивая без гири: 12 = 6 + 6. Получили искомое количество гвоздей: 19 = 13 + 6.

5. Ответ. Нельзя.

Первое решение. Допустим, можно. Возьмём красный шарик, не лежащий с краю (такой найдётся хотя бы в пятёрке шариков со 2-го по 6-ой). Соседние с ним шарики должны быть белыми, иначе найдутся два соседних шарика, среди которых нет белых. Но это значит, что мы нашли три подряд идущих шарика, среди которых нет синего.

Второе решение.

Разбив 30 шариков на 15 пар соседних шариков, убеждаемся, что среди выложенных шариков не меньше 15 белых. Разбив их на 10 троек подряд идущих шариков, убеждаемся, что среди выложенных шариков не меньше 10 синих. Наконец, разбив их же на 6 пятёрок подряд идущих шариков, видим, что среди выложенных шариков не меньше 6 красных. Получается, что шариков должно быть не меньше, чем

15 + 10 + 6 = 31, а их только 30.

Ответы, указания, решения. 8 класс

1. Решение. Четыре раза отложим от точки А на прямой отрезок, равный 7 см, получим отрезок АВ длины 28 см. Теперь на этом же отрезке от его начала А трижды отложим отрезок, равный 9 см. Получим отрезок АС длины 27 см. Тогда отрезок ВС искомый.

2. Ответ. 49 рублей 50 копеек.

Решение. Пусть вначале у Васи было x рублей. Из условия задачи получаем, что x + 49 = 99x. Решая это уравнение, получаем x = 0,5 рубля = 50 копеек.

3. Ответ. 1003.

Решение. Заметим, что два воина, стоящие рядом, не могли оказаться рыцарями.

Действительно, если бы они оба были рыцарями, то они оба сказали бы неправду. Выберем воина, стоящего слева, и разобьем ряд из оставшихся 2004 воинов на 1002 группы по два рядом стоящих воина. В каждой такой группе не более одного рыцаря, т. е. среди рассматриваемых 2004 воинов не более 1002 рыцарей, т. е. всего в шеренге не более 1002 + 1 = 1003 рыцарей.

Рассмотрим шеренгу РЛРЛР…РЛРЛР. В такой шеренге стоит ровно 1003 рыцаря.

4. Ответ. a = 2.

Первое решение. Заметим, что при x = 1 выполняется ax + 1 = x + a = a + 1, так что

точка M (1; a + 1) является общей для прямых y = ax + 1 и y = x + a. Так как прямые различны, M – их единственная общая точка. Поэтому прямая y = 3 тоже должна проходить через неё, откуда a + 1 = 3 и a = 2. Легко видеть, что при a = 2 все три прямые действительно различны.

Второе решение. По условию в точке пересечения a x + 1 = x + a (a – 1)( x – 1) = 0, откуда a = 1 или x = 1. Но случай a = 1 невозможен, потому что тогда первые две прямые совпадали бы. Дальше рассуждаем как в первом решении.

5. Решение. После того, как третий положил свои деньги, в столе оказалось 2 доллара. Это означает, что перед тем, как он это сделал, в столе был 1 доллар. Значит, после того, как второй положил деньги, в столе было 3 доллара, а перед тем, как он это сделал, в столе было 1,5 доллара. Рассуждая аналогично для первого, получаем, что перед приходом первого в столе был (1,5+2):2=1,75 долларов.

Ответ: 175 центов

Ответы, указания, решения. 9 класс

1.Докажите, что значение выражения _ + _ есть число рациональное.

Решение: _ + _ = _= — _.

2.На пост мера города претендовало три кандидата: Андреев, Борисов, Васильев. Во время выборов за Васильева было отдано в 1,5 раза больше голосов, чем за Андреева, а за Борисова – в 4 раза больше, чем за Андреева и Васильева вместе. Сколько процентов избирателей проголосовало за победителя?

Ответ: 80%.

Решение: за Андреева было отдано х голосов; за Васильева было отдано 1,5х голосов; за Борисова было отдано 42,5х =10х голосов. Победитель – Борисов. Всего проголосовало х+1,5х +10х =12,5х человек. 12,5х – 100%; 10х – а% ; а = 

3.В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 см проведены высота прямого угла и медиана большего из острых углов. В каком отношении высота делит медиану?
Ответ: 9:8, считая от основания.
Решение. Проведем отрезок DF, параллельный высоте АЕ. По теореме Фалеса, он разделит отрезок BE пополам. По теореме Пифагора, гипотенуза треугольникаАВС равна 5 см. Кроме этого , и . Отсюда: . Отсюда . То есть ВЕ=3,2, FE=1,6, EC=1,8. Из параллельности отрезков DF и GE следует, что .
4. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съедает трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее количество щук в этом пруду, которые могли бы почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени?( щука может быть в некоторый момент сытой, но потом съеденной)
Ответ. 9 щук.
Решение. 10 сытых щук быть не может, так как каждая из них съест хотя бы по три щуки и еще последняя останется живой. То есть щук было хотя бы 31. Пример на 9 щук строится просто: первая съела три других, следующая съела ее и две других, и т. д.

5. Пусть х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19.
Доказательство. Попробуем представить  Отсюда:

 Отсюда, 

Ответы, указания, решения. 10 класс

Решение:

1. (7 баллов)

2. (7 баллов)
3. (7 баллов) Найдем сумму квадратов:

х₂=(2-a)²+2(a+3)=a²-4a+4+2a+6=а²-2а+10=(а-1)²+9.

4. (7 баллов) Сложив все три уравнения системы, получим уравнение (2x+2y+2z)(x+y+z)=288,из которого найдем х+y+z=-12. Получим в первом случае х=2,y=4, z=6; а во втором случае х=-2, y=-4, z=-6.
5. (7 баллов)

Пусть Положим (см.рис.). Тогда 2х+5х+17х=360⁰, откуда х=15⁰, значит, . Поэтому углs треугольника АВС будут соответственно равны15⁰, 37,5⁰, 127,5⁰. Из теоремы синусов следует, что АС=2RsinB=2Rsin 37,5⁰, BC=2RsinA=2Rsin127,5⁰. Далее S_ABC=. Таккак sin 37,5⁰ *sin 127,5⁰=0,5 (cos 90⁰-cos165⁰)=0,5 cos15⁰, то S_ABC=R² cos 15⁰ sin 15⁰=.

Ответы, указания, решения. 11 класс

Решение:

1. Так как _, то графиком функции будет синусоида с выколотыми точками _.
2. Воспользуемся формулами для синуса двойного угла:

_ ,тогда получим уравнение _ Далее используем формулу синуса суммы для sin 12x= sin (8x+4x) и получаем, что sin 8xcos 4x=0, откуда sin 8x=0 или cos 4x=0. Решением совокупности этих уравнений будет _. В итоге получим _.

3. Выделим полный квадрат: . Но первое слагаемое при любых значениях х неотрицательно, а второе слагаемое строго больше нуля, поскольку дискриминант отрицательный, следовательно, данное выражение всегда положительно. Значит, данное неравенство решений не имеет.
4. Сложив все три уравнения системы, получим уравнение (2x+2y+2z)(x+y+z)=288,из которого найдем х+y+z=-12. Получим в первом случае х=2,y=4, z=6; а во втором случае х=-2, y=-4, z=-6.

5. (7 баллов)

Пусть Положим (см.рис.). Тогда 2х+5х+17х=360⁰, откуда х=15⁰, значит, . Поэтому углs треугольника АВС будут соответственно равны15⁰, 37,5⁰, 127,5⁰. Из теоремы синусов следует, что АС=2RsinB=2Rsin 37,5⁰, BC=2RsinA=2Rsin127,5⁰. Далее S_ABC=. Таккак sin 37,5⁰ *sin 127,5⁰=0,5 (cos 90⁰-cos165⁰)=0,5 cos15⁰, то S_ABC=R² cos 15⁰ sin 15⁰=.