Математика. 10 класс
Задача 1. Центры вписанной и описанной окружностей треугольника симметричны относительно одной из его сторон. Найдите углы треугольника.
Указание. Так как центр описанной окружности лежит вне треугольника, значит треугольник тупоугольный. Рассмотрим треугольник ABC с тупым углом A. O -центр описанной около треугольника окружности, O1 -центр вписанной в треугольник окружности. BC — сторона симметрии, K — точка симметрии. ∠C = α. Воспользоваться свойствами вписанных в окружность углов.
Ответ. 36º , 36º , 108º.
Задача 2. На плоскости отмечены 2010 точек, которые являются вершинами правильного 2010 многоугольника. Двое поочередно проводят отрезки прямых соединяющих две произвольные точки. Не разрешается проводить отрезок, пересекающий другие отрезки, но они могут иметь общие концы. Проигрывает тот, кто не сумеет провести отрезок. Кто выигрывает при правильной игре.
Указание. 1. Диаметр. 2. симметричные построения. Ответ. Выигрывает начинающий.
Здесь ты найдешь уроки, исследования, интересные факты и вдохновение для творчества.
Задача 3. Найдите все числа x, удовлетворяющие неравенству
[x]² − 2x[x] + 2010 < 0
([x] — целая часть числа x, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее x.)
Решение. Обозначим [x] = n, {x} = α, тогда исходное неравенство примет вид
n² − (n + α)n + 2010 < 0,
2nα > 2010 − n² .
Если n = 0, то неравенство не имеет решений.
Задача 4. Обозначим через S(a) — сумму цифр натурального числа a. Докажите, что
если выполняется равенство S(a) = S(4a), то a делится на 3.
Решение. Из равенства S(a) = S(4a) получаем, что S(a), S(4a), а поэтому и сами
числа a и 4a, должны иметь один и тот же остаток при делении на 9. Отсюда разность 4a − a = 3a должна делится на 9, т.е. a делится на 3.
Задача 5. Найдите натуральные n, m, которые удовлетворяют соотношению
2m² + 2n² + 3m = 5mn + 3n + 2010.
Решение. Представим исходное соотношение в виде
2m² + m(3 − 5n) + 2n² − 3n + a = 2010 + a.
Разложим левую часть последнего равенства на множители
D = (3 − 5n)² − 8(2n² − 3n + a) = 9n² − 6n + 9 − 8a = (3a − 1)²
при a = 1.
(2m − n + 1)(m − 2n + 1) = 2011,
2011- простое число. Возможны следующие четыре случая.
