Окружная математическая олимпиада. 7 класс

1. Найдите разность между суммой всех четных чисел и суммой всех нечетных чисел, не превосходящих 100.

2. Двигаясь из пункта А в пункт В, автомобиль за 5 часов проехал на 8 км меньше половины всего пути, а за 7 часов он проехал на 120 км больше половины всего пути. Определите длину всего пути из А в В.

3. Если от задуманного трехзначного числа отнять 11 и получившееся число разделить на 11, то в остатке получится 5. Если от того же задуманного числа отнять 16 и получившееся число разделить на 8, то остаток от деления будет 5. Если же от задуманного трехзначного числа отнять 21 и получившееся число разделить на 7, то остаток опять будет 5. Найдите задуманное число.

4. Нарисуйте на клетчатой бумаге квадрат и разрежьте его на пять попарно неравных
прямоугольников так, чтобы никакие два из них не имели общей стороны и так, чтобы
среди них не было квадратов.

5. У трех членов жюри спросили: “Сколько семиклассников будут участвовать в
олимпиаде?” Один сказал: ”Больше пятидесяти девяти”. Другой: ”Больше
шестидесяти”, а третий – “Больше шестидесяти одного”. Сколько семиклассников
участвовало в олимпиаде, если правы были в точности двое членов жюри

6. Имеется 10 камней разного веса и чашечные весы без гирь. Как ровно за 13
взвешиваний найти самый тяжелый камень и самый легкий?
Решение каждой задачи оценивается в 7 баллов.

РЕШЕНИЯ 7 класс.Окружная математическая олимпиада.

1. Найдите разность между суммой всех четных чисел и суммой всех нечетных чисел, не превосходящих 100. Решение. 2+4+6+…+100-1-3-…-99=(2-1)+(4-3)+…+(100-99)=50.
2. Двигаясь из пункта А в пункт В, автомобиль за 5 часов проехал на 8 км меньше половины всего пути, а за 7 часов он проехал на 120 км больше половины всего пути. Определите длину всего пути из А в В. Решение. За 2 часа автомобиль проехал 8+120 = 128 км, следовательно, его скорость – 64 км/час. Длина пути равна (64 х 5 +8) х 2 = 328 х 2 = 656 км.
3. Если от задуманного трехзначного числа отнять 11 и получившееся число разделить на 11, то в остатке получится 5. Если от того же задуманного числа отнять 16 и получившееся число разделить на 8, то остаток от деления будет 5. Если же от задуманного трехзначного числа отнять 21 и получившееся число разделить на 7, то остаток опять будет 5. Найдите задуманное число. Решение. Если данное число уменьшить на 5, то оно будет делиться на 11, на 8, на 7. Эти три числа взаимно простые, поэтому задуманное число делится и на их произведение, равное 616. Других делителей нет, так как тогда получилось бы число, имеющее более трех цифр. Ответ. 621.
4. Нарисуйте на клетчатой бумаге квадрат и разрежьте его на пять попарно неравных прямоугольников так, чтобы никакие два из них не имели общей стороны и так, чтобы среди них не было квадратов. Решение. Например, квадрат со стороной 7 можно разрезать на прямоугольники 6х1, 1х3, 5х4, 2х6, 4х2.

5. У трех членов жюри спросили: “Сколько семиклассников будут участвовать в олимпиаде?” Один сказал: ”Больше пятидесяти девяти”. Другой: ”Больше шестидесяти”, а третий – “Больше шестидесяти одного”. Сколько семиклассников участвовало в олимпиаде, если правы были в точности двое членов жюри? Ответ. 61. Решение. Если участников не более 59, неправ никто. Если их 60, прав один. Если 61 – правы двое. Если их не менее 62, то правы трое.
6. Имеется 10 камней разного веса и чашечные весы без гирь. Как ровно за 13 взвешиваний найти самый тяжелый камень и самый легкий? Решение. Разобьем камни на пары. За 5 взвешиваний сравним камни в каждой паре. Более тяжелые камни соберем в кучку А, более легкие – в кучку В. Сравним два камня из кучки А. Более тяжелый сравним с третьим камнем, с четвертым, с пятым. В итоге за 4 взвешивания найдем самый тяжелый камень из А. Аналогично за 4 взвешивания определим самый легкий камень из кучки В. Таким образом, ровно за 5 + 4 +4 = 13 взвешиваний можно найти самый тяжелый и самый легкий камень.

Решение каждой задачи оценивается в 7 баллов.