Окружная математическая олимпиада. 9 класс

1. Сумма коэффициентов некоторого многочлена первой степени равна 2, сумма коэффициентов некоторого квадратного трехчлена равна 3. Эти многочлены перемножили и получили многочлен третьей степени. Найдите сумму его коэффициентов. Ответ. 6. Решение. Обозначим эти многочлены так: , . Если эти многочлены перемножить, то получим ответ.
2. Укажите хотя бы один делитель числа _. Ответ. 3. Решение. Любая степень числа 4 при делении на 3 дает остаток 1. Любая нечетная степень числа 2 дает в остатке число -1. Следовательно, данное число делится на 3.
3. Изобразите на декартовой координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению . Ответ. Единственная точка . Решение. Левая часть неотрицательна, следовательно, — не положительно. Но если отрицательно, то первое подкоренное выражение – отрицательно. Значит, возможно только . При этом каждое подкоренное выражение равно 0. Итак, данное уравнение равносильно системе .
4. На отрезке BD отмечена точка С и построены в одной полуплоскости с границей BDдва подобных равнобедренных треугольника BAC и CED с основаниями BC и CD. Отрезки BE и ACпересекаются в точке K, а отрезки CE и AD — в точке L. Докажите, что треугольник CKL – равнобедренный. Подобен ли этот треугольник треугольникам BAC и CED? Решение. Пусть основание треугольника ВАС равно х, боковые стороны у, основание и боковые стороны треугольника СЕД соответственно рх и ру. Из подобия треугольников ВКС и ВЕД следует равенство , откуда . Аналогично получаем . Следовательно, треугольникCKL – равнобедренный. Рассматривая углы BCA, ACE, ECD, заключаем, что угол ACEпри его вершине С равен углу при вершине равнобедренных треугольников BAC и CED. Следовательно, треугольник CKL подобен треугольникам BAC и CED
5. Имеется 20 камней разного веса и чашечные весы без гирь. Как ровно за 28 взвешиваний найти самый тяжелый камень и самый легкий? Решение. Разобьем камни на пары. За 10 взвешиваний сравним камни в каждой паре. Более тяжелые камни соберем в кучку А, более легкие – в кучку В. Сравним два камня из кучки А. Более тяжелый сравним с третьим камнем, с четвертым, с пятым и так далее. В итоге за 9 взвешиваний найдем самый тяжелый камень. Аналогично за 9 взвешиваний определим самый легкий камень из кучки В. Таким образом, ровно за 10 + 9 + 9 = 18 взвешиваний можно найти самый тяжелый и самый легкий камень.
6. Если первый автомобиль сделает 4 рейса, а второй – 3 рейса, то 21 тонну груза они перевезти не смогут. Если же первый сделает 7 рейсов, а второй – 4 рейса, то они смогут перевезти более 33 тон груза. Какой автомобиль имеет большую грузоподъемность? Ответ. Первый. Решение. Пусть грузоподъемности первого и второго грузовика равны xи y соответственно. По условию < 21, > 33. Первое неравенство умножим на 11, второе – на 7. Получим

< 231, > 231. Отсюда <, или < . Отсюда получаем ответ.

Решение каждой задачи оценивается в 7 баллов.