Задачи по экономике

Задача 1. При проведении спасательной операции после наводнения самолет МЧС в связи с погодными условиями может оставаться на аэродроме в течение 4 часов. Определить, какое количество продовольствия (1-й товар) и одежды (2-й товар) необходимо направить данным рейсом, чтобы полезность груза была максимальна, если предпочтения пострадавших выражает степенная функция вида . Сколько времени будет затрачено на разгрузку каждого товара из оптимального набора, если упаковку продовольствия можно разгрузить за 2 мин., а упаковку одежды за 5 минут?

Решение: Выражения предельных полезностей интервалов времени при t₁=2, t₂=5 имеют вид:

Согласно 2-му закону Госсена, приравняв эти выражения, получим:

Учитывая затраты времени на разгрузку, составим уравнение фонда времени:

Откуда находим количества товаров, которые необходимо разгрузить, чтобы максимизировать полезность: x₁=72, x₂=19,2. (3)

Поскольку товары неделимы, следует округлить значение в меньшую сторону, так как в противном случае не будет выполнено условие заданного фонда времени:  x₁=72, x₂=19. 

Поэтому на разгрузку будет затрачено: x₁t₁=72*2=144 мин., x₂t₂ = 19*5=95 мин или в сумме 144 + 95 = 239 мин., то есть резерв времени (1 мин.) недостаточен, что увеличить загрузку какого-либо товара. (4)
Задача 2. 
На рынке меда присутствуют две группы покупателей: «перекупщики» купят любое количество меда по цене 200 руб. за кг, а «богачи» (их 1000 семей) купят 3 кг в год по любой цене. Функция предложения имеет постоянную ценовую эластичность в каждой точке, равную единице. На рынке сформировалась равновесная цена равная 300 рублям. Определите объем продаж, цену, уплачиваемую потребителем, а также цену, получаемую продавцом, если потоварный налог на производителя снижен со 180 рублей до уровня 30 рублей за кг.

Решение: Построим кривую рыночного спроса (1):

Кривая предложения имеет единичную эластичность, поэтому выходит из начала координат. Поскольку равновесная P=300, уравнение кривой предложения имеет вид: Q = 10Р. Первоначальное равновесие достигается при P = 300, Q =3000. (2)

При снижении налога на производителя кривая предложения сместится параллельно вправо на 150 руб.:

Новые параметры равновесия: Pd=200, Ps=170, Q = 3500. (3)

Задача 3. Производственная функция совершенно конкурентной фирмы «Три ресурса» имеет вид: где Q — выпуск фирмы, K — объем используемого фирмой капитала, L — объем используемого труда (человеко-часов), М – материальные ресурсы. В краткосрочном периоде количество капитала фиксировано, а затраты сырья пропорциональны выпуску и обратно пропорциональны фондам: M=(Q+20)/K.

Фирма закупает ресурсы на совершенно конкурентных рынках, причем известно, что дневная тарифная ставка равна 1000, цена единицы сырья 50. Определите количество капитала, которым обладает фирма, если в интервью ее менеджер заявил, что в краткосрочном периоде фирма готова выпускать продукцию, только если рыночная цена этой продукции не опустится ниже 2.

Решение. Выведем функцию переменных издержек фирмы. Из производственной функции при Q>0, требуемое значение равно 

Таким образом, переменные издержки фирмы составят 

Соответственно, функция средних переменных издержек фирмы имеет вид 

Минимум этой функции достигается в точке, где AVC′(Q)=0, то есть если откуда Q=20. (4)

Сам минимум AVC равен 

С другой стороны, по условию этот минимум равен 2 (так как — не что иное как минимальная рыночная цена, при которой фирма продолжит производство в краткосрочном периоде). (6)

Значит, 80100/K = 2, откуда К=40050.

Задача 4. Спрос на продукцию монополии имеет вид Qd =202 – 0,01P, а функция общих издержек TС=1000+Q². Какой должна быть сумма аккордной субсидии, стимулирующей монополию выбрать такой объем выпуска, который мог бы быть произведен в отрасли при совершенной конкуренции.

Решение. Предельные издержки MC =2Q; (1)

Предельная выручка P=20200-100Q →MR = 20200-200Q (2)

Оптимум монополиста: MR=20200-200Q = MC = 2Q →Qмон =100. (3)

Цена при этом установится равной: P = 20200-100*100=10200.(4)

Кривая предложения монополии MC = 2Q есть кривая предложения сопоставимого конкурентного рынка Qs=0,5P. (5)

Равновесие на конкурентном рынке 202-0,01P = 0,5Pe ≈198 (6)

Прибыль монополии и конкуренции; Пмон = 10200*100-1000-100²=1009000; Пмон = 396*198-1000-198²=38204. (7)

Субсидия S=1009000-38204=970796. (8)