Математика
Школьный этап всероссийской олимпиады по математике 2016-2017 уч.год 11 класс
- Постройте график функции:
- Решите уравнение:
Олимпиадные задания по математике для 7 класса
1. Произведение цифр трёхзначного числа равно 25. Найдите такие числа.
Ответ: 551; 155; 515.
2. Поставить вместо звёздочек такие цифры, чтобы число 32*35717* делилось на 72.
Решение: Чтобы число делилось на 72, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 8 и на 9. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы на 8 делилось число, составленное из трех последних его цифр в том же порядке. Для числа 17* это 176, то есть последняя цифра 6. Для делимости на 9 необходимо и достаточно, чтобы сума цифр числа делилась на 9. Вместо оставшейся звездочки может стоять только 2.
Ответ: 322357176.
Математика. 7 класс
Задача 1. Взяли квадрат клетчатой бумаги размером 8 × 8, отрезали от него две клетки (левую нижнюю и правую верхнюю). Можно ли полученную фигуру полностью покрыть «доминошками» — прямоуголниками 1 × 2.
Решение. Рассмотрим шахматную доску 8 × 8 уберем две черные клетки. Каждая доминошка покрывает одну белую и одну черную клетку. Фигура, которую можно покрыть доминошками, должна содержать белых и черных клеток поровну. В фигуре рассматриваемой в задаче белых клеток больше, чем черных. Ответ. Нельзя. (далее…)
Математика. 8 класс
Задача 1. Решите систему уравнений
Решение: x = 1/1005 , y = 1/1004 , z = 1/1006 . (далее…)
Математика. 9 класс
Задача 1. На доске написаны многочлены P1 = x² + 2, P2 = x + 1. На доску дописываются многочлены, являющиеся суммой, разностью или произведением уже записанных многочленов. Может ли после нескольких дописываний на доске появиться многочлен Q(x) = 20x² + 10x.
Решение. P1 (−1) = 3, P2 (−1) = 0. Значит, все появляющиеся на доске многочлены таковы, что их значения в точке x = −1 делятся на 3. Q( − 1) = 10, следовательно, многочлен Q(x) таковым не является. Ответ. Не может.
Математика. 10 класс
Задача 1. Центры вписанной и описанной окружностей треугольника симметричны относительно одной из его сторон. Найдите углы треугольника.
Указание. Так как центр описанной окружности лежит вне треугольника, значит треугольник тупоугольный. Рассмотрим треугольник ABC с тупым углом A. O -центр описанной около треугольника окружности, O1 -центр вписанной в треугольник окружности. BC — сторона симметрии, K — точка симметрии. ∠C = α. Воспользоваться свойствами вписанных в окружность углов.
Ответ. 36º , 36º , 108º. (далее…)
Математика. 11 класс
Задача 1. Для некоторого числа x sin 204x, sin 903x, sin 1107x — рациональные отличные от нуля числа. Доказать, что sin 2010x — рациональное число.
Олимпиадные задания по математике для 8 класса
1. Доказать, что четырёхугольник с вершинами в серединах сторон данного четырёхугольника – параллелограмм.
Указание. Использовать теорему о средней линии треугольника.
2. Из стальной болванки можно сделать 5 одинаковых болтов или 4 одинаковые гайки. Какова масса 5 таких болванок, если на одну гайку идёт на 10 г больше, чем на один болт?
Ответ: 1кг.
Олимпиадные задания по математике для 9 класса
1. Для нумерации домов в поселке потребовалась 2007 металлических цифр (двузначные, трехзначные и т.д. номера составлены из отдельных. Сколько домов в поселке?
Решение: Сначала выясним, какие числа использовались в нумерации. Однозначных чисел 9 (от 1 до 9), двузначных — 90 (от 10 до 99). Вместе они содержат 9*1+90*2=189 цифр, что недостаточно. Трехзначных чисел 900 (от 100 до 999), и они содержат 900*3=2700 цифр, что уже больше, чем нужно. Значит, будут использованы все однозначные и двузначные числа, трехзначные числа (не все),а четырехзначные — нет.
Из 2007 цифр на трехзначные числа приходится 2007-189=1818 цифр, значит, трехзначных чисел будет 1818:3=606. Всего получаем 9+90+606=705 домов.
Ответ: 705 домов.
Олимпиадные задания по математике для 10 класса
1. Постройте эскиз графика функции: 
Решение: 
(далее…)