Окружная математическая олимпиада. 8 класс

1. Восстановите цифры в примере на умножение (одиннадцать крестиков обозначают цифры). Запишите свои рассуждения.

1. 126Х х х

   х х х+ х х х х————- 1 х 2 х 6

    

2. Вычислите _

_.

3. Разрежьте какой-нибудь равносторонний треугольник на равносторонние треугольники двух разных размеров так, чтобы маленьких треугольников было бы столько же, сколько и больших.
4. В трапеции ABCD с основаниями AD иBC_угол _прямой. Найдите длину основания AD.
   

   2	8
   5
   	?

5. Прямоугольник тремя отрезками, параллельными его сторонам, разделен на четыре прямоугольника. Площади

трёх из них указаны на рисунке. Какие значения может принимать площадь четвертого прямоугольника?

6. Если на имеющиеся деньги купить шоколад, то останется 6 рублей и 50 копеек; если купить только коробку конфет, то останется 8 рублей и 50 копеек. Если же купить печенье, то останется 15 рублей и 50 копеек. Хватит ли имеющихся денег, чтобы купить шоколад и коробку конфет?

Решение каждой задачи оценивается в 7 баллов.

Решение 

1. При умножении 6 на последнюю цифру второго сомножителя последняя цифра оказалась равной 6. Следовательно, вторая цифра второго множителя равна 1 или 6. При умножении 126 на первую цифру получилось трехзначное число. Следовательно, эта цифра – 8 или 9. Так получаем четыре возможных кандидата на второй множитель – числа 81, 86, 91, 96. Подходит только 81.
2. Ответ. 2. Решение. В данном числовом выражении участвуют четыре числа. Обозначим меньшее из них n. Тогда данное выражение равно .
3. Прямыми, параллельными сторонам, правильный треугольник можно разрезать на 4, 9, 16, 25,…- на правильных треугольников. Разрежем данный треугольник на 100 треугольников. Возьмем десять из них и каждый разрежем на 9 маленьких. В итоге получатся треугольники двух размеров, тех и других – 90.
4. Ответ. 20 см. Решение. Высоту равнобедренного треугольника АВС, проведенную из вершины В, продолжим до пересечения с AD в точке М. Отрезки ВМ и CD – параллельны, так как они перпендикулярны АС. Следовательно, MBCD – параллелограмм, и MD = ВС = 10 см. из треугольника АВС. как внутренние накрест лежащие. Следовательно, . В треугольнике АВМ высота является биссектрисой, следовательно, он равнобедренный, и АМ = 10 см. В итоге см.
5. Ответ. От нуля до . Решение. Не меняя высоту исходного прямоугольника, будем “вытягивать” прямоугольник площади 8 неограниченно вправо. При этом площадь четвертого прямоугольника будет непрерывно и неограниченно возрастать. Затем будем прямоугольник площади 8 изменять, увеличивая его вертикальную сторону. При этом площадь четвертого прямоугольника будет непрерывно убывать до нуля. Эти рассуждения можно сопроводить такими выкладками. Пустьh – высота исходного прямоугольника, — высота прямоугольника площади 8. Тогда его снование равно . При этом площадь четвертого прямоугольника равна . Необходимо найти множество значений этой функции на интервале 0 < x < h. Множество значений рассматриваемой дробно-линейной функции на этом интервале можно увидеть на графике – это интервал .
6. Ответ. Не хватит. Решение. Допустим, можно купить и шоколад, и конфеты. Тогда можно купить конфеты, цена которых не превосходит 6,5 руб., можно купить шоколад, цена которого не превосходит 8,5 руб. Значит, имеющихся денег не более 6,5 + 8,5 = 15 руб. Но в этом случае было бы невозможно купить печенье! Получено противоречие. Следовательно, наше допущение неверно, и купить сразу и шоколад, и конфеты невозможно.

2-е решение. По условию , , .

Отсюда . Но по условию денег было больше 15,5 руб., поэтому меньше нуля, и Д меньше суммы . Последнее означает, что сразу купить шоколад и конфеты нельзя.